TRANSFORMADA BINOMIAL  E DISCRETA DO COSSENO , COM ELEMENTOS GRACELI DE SOMATÓRIO PROGRESSÕES E RAIZ.

  P/G    P/W =

P/G    P/W =

Definição

Como a transformada de Fourier é definida por^{[nota 3]}

${\displaystyle F(\omega )={\mathcal {F}}(f)(\omega )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt.}$P/G    P/W =

Expandindo o integrando por meio da fórmula de Euler, obtemos a integral

${\displaystyle F(\omega )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)(\cos \,{\omega t}-i\,\sin {\,\omega t})\,dt,}$P/G    P/W =

que pode ser escrita como a soma de duas integrais

${\displaystyle F(\omega )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos \,{\omega t}\,dt-i\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin \,{\omega t}\,dt.}$

P/G    P/W =

Se ${\displaystyle f(t)}$ for uma função ímpar, o produto f(t)cosωt será também uma função ímpar, enquanto que o produto f(t)sinωt será uma função par. Uma vez que a integral está sendo calculada em um intervalo simétrico em torno da origem (i.e. -∞ to +∞), a primeira integral deve ser igual a zero, e a segunda pode ser expressa de forma simplificada como

${\displaystyle F(\omega )=-i\int \limits _{0}^{\infty }f(t)\sin \,{\omega t}\,dt,}$

P/G    P/W =

que é a transformada de seno da função ${\displaystyle f(t)}$. Obviamente, a função resultante ${\displaystyle F(}$ω${\displaystyle )}$ será também uma função ímpar.

Raciocínio similar aplicado à transformada inversa de Fourier resulta em uma segunda transformada de seno

${\displaystyle f(t)=i\;{\frac {2}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }F(\omega )\sin \,{\omega t}\,d\omega .}$

P/G    P/W =

Os fatores numéricos nas fórmulas das transformadas de Fourier são convencionais, por isso os multplicadores podem ser omitidos, resultando na forma mais comum das transformadas de seno e sua inversa

${\displaystyle {\mathcal {S}}\{f(t)\}\;=\;S(\omega )\;=\;\int \limits _{0}^{\infty }f(t)\sin \,{\omega t}\,dt\;\;\;\;\;(1a)}$

P/G    P/W =

e

${\displaystyle f(t)\;=\;{\mathcal {S}}^{-1}\{S(\omega )\}\;=\;{\frac {2}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }S(\omega )\sin \,{\omega t}\,d\omega \;\;\;\;\;(1b)}$

P/G    P/W =

Se ${\displaystyle f(t)}$ for uma função par, raciocínio similar resulta em

${\displaystyle {\mathcal {C}}\{f(t)\}\;=\;C(\omega )\;=\;\int \limits _{0}^{\infty }f(t)\cos \,{\omega t}\,dt\;\;\;\;\;(1c)}$

P/G    P/W =

que é a transformada de cosseno de ${\displaystyle f(t)}$, que é uma função par, e na fórmula da transformada inversa

${\displaystyle f(t)\;=\;{\mathcal {C}}^{-1}\{C(\omega )\}\;=\;{\frac {2}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }C(\omega )\cos \,{\omega t}\,d\omega \;\;\;\;\;(1d)}$^[4]

P/G    P/W =