TRANSFORMADAS COM VARIÁVEIS DE GRACELI.

TRANSFORMADA BINOMIAL  E DISCRETA DO COSSENO , COM ELEMENTOS GRACELI DE SOMATÓRIO PROGRESSÕES E RAIZ.

  P/G    P/W =

P/G    P/W =

Em matemática, a transformada identidade é uma transformada integral cujo núcleo é a função delta de Dirac:

${\displaystyle {\mathcal {I}}\{f(x)\}=\int _{-\infty }^{\infty }f(u)\cdot \delta (u\;-\;x)\;du}$

P/G    P/W =

A transformação deve seu nome ao fato de mapear uma função qualquer f(x) nela mesma:

${\displaystyle {\mathcal {I}}\{f(x)\}=f(x)}$^[1]

P/G    P/W =

Definições

Se chamarmos f_k e S_k ao k-ésimo coeficiente de f(k) e S(k), respectivamente, podemos definir a transformada discreta de seno de tipo 1 (DST1) por meio da expressão seguinte:

${\displaystyle S_{k}\;=\;{\sqrt {\frac {2}{n}}}\cdot \sum _{j\;=1}^{n-1}f_{j}\cdot \sin \left({\frac {jk\pi }{n}}\right)\;\;\;\;\;(1a)}$P/G    P/W =

Vemos que a sequência S(k) terá apenas n-1 valores, porque os coeficientes extremos devem ser nulos: tanto k quanto j situam-se no intervalo [1,n-1], e não no intervalo [0,n-1], como é usual na definição de transformadas discretas. A transformada inversa é dada por

${\displaystyle f_{k}\;=\;{\sqrt {\frac {2}{n}}}\cdot \sum _{j\;=1}^{n-1}S_{j}\cdot \sin \left({\frac {jk\pi }{n}}\right)\;\;\;\;\;(2a)}$P/G    P/W =

também com k e j no intervalo [1,n-1]. Note-se a simetria entre a transformação direta e a inversa, e a similaridade com as transformações contínuas correspondentes.

Alternativamente, pode-se definir a DST1 como a matriz que, multiplicada por f(k), resulta em S(k); em notação matricial, S = D_s · f. Se denotarmos os coeficientes da matriz D_s por s_jk, podemos escrever

${\displaystyle s_{jk}\;=\;{\sqrt {\frac {2}{n}}}\cdot \sin \left({\frac {jk\pi }{n}}\right)\qquad |\;k,j\in [1,n-1]\qquad (3a)}$P/G    P/W =

Transformada discreta de cosseno (ou DCT da sigla em inglês para Discrete Cosine Transform) é a extensão da Transformada de cosseno ou Transformada contínua de cosseno para um domínio discreto. É muito utilizada em processamento digital de imagens e compressão de dados.

Transformada unidimensional

A fórmula desta transformada para um vetor p de tamanho n é:

${\displaystyle G_{f}={\frac {1}{2}}C_{f}\sum _{t=0}^{n-1}p_{t}\cos {\left({\frac {(2t+1)f\pi }{2n}}\right)},}$ onde: 

A matriz dessa transformada é composta de vetores ortonormais, sendo por isso uma matriz de rotação. Esta transformada é muito utilizada na compressão de dados, pois transfere a maior parte da informação contida para os primeiros elementos do vetor, otimizando o armazenamento (para compressão sem perdas) e facilitando a quantização dos valores (para compressão com perdas).

A recuperação dos dados transformados pode ser feita com a operação inversa, chamada de IDCT (do inglês Inverse Discrete Cosine Transform), que é dada pela fórmula abaixo:

${\displaystyle p_{t}={\frac {1}{2}}\sum _{j=0}^{n-1}C_{j}G_{j}\cos {\left({\frac {(2t+1)j\pi }{2n}}\right)},{\mbox{ para }}t=0,1,...,n-1}$

Em compressão e imagens e vídeos a maioria dos padrões usa a transformada discreta de cosseno com o tamanho do vetor p n = 8.

Transformada bidimensional

Sabendo que os pixels de uma imagem tem correlação com seus vizinhos nas duas dimensões da imagem, e não apenas em uma dimensão, a transformada discreta de cosseno para ser usada na compressão de imagens também deve ser uma transformada bidimensional. A fórmula dessa transformada para uma matriz (ou seja uma imagem) p de tamanho n x n é:

${\displaystyle G_{ij}={\frac {1}{\sqrt {2n}}}C_{i}C_{j}\sum _{x=0}^{n-1}\sum _{y=0}^{n-1}p_{xy}\cos {\left({\frac {(2y+1)j\pi }{2n}}\right)}\cos {\left({\frac {(2x+1)i\pi }{2n}}\right)},}$ para ${\displaystyle 0\leq i,j\leq n-1}$

onde ${\displaystyle C_{i,j}={\begin{cases}{\frac {1}{\sqrt {n}}},&{i,j}=0\\{\sqrt {2/n}},&{i,j}>0\end{cases}}}$

Essa transformada pode ser considerada como uma rotação (ou duas rotações consecutivas, uma em cada dimensão), ou ainda como uma base ortogonal num espaço vetorial de n dimensões. A recuperação dos dados transformados pode ser feita usando-se a transformação inversa, conhecida como IDCT bidimensional:

${\displaystyle p_{xy}={\frac {1}{4}}\sum _{i=0}^{n-1}\sum _{j=0}^{n-1}C_{i}C_{j}G_{ij}\cos {\left({\frac {(2x+1)i\pi }{2n}}\right)}\cos {\left({\frac {(2y+1)j\pi }{2n}}\right)}}$P/G    P/W =

Analogamente à transformada unidimensional, a transformada bidimensional resulta em uma matriz onde os coeficientes mais significativos se acumulam no canto superior esquerdo (início da matriz) e os demais coeficientes são de pequeno valor podendo ser mais facilmente armazenados ou mesmo quantizados para proporcionar uma compressão com perdas.P/G    P/W =

${\displaystyle C_{f}={\begin{cases}{\frac {1}{\sqrt {n}}},&f=0\\{\sqrt {2/n}},&f>0\end{cases}}{\mbox{ para }}f=0,1,...,n-1}$

A transformada de Hilbert de uma função f(x) é definida por:

${\displaystyle {\mathcal {H}}\{f(x)\}\;=\;{\hat {u}}(x)\;=\;{\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(u)}{u-x}}\;du\;\;\;\;\;(1a)}$P/G    P/W =

Definição

O núcleo da transformada de Hankel é uma função de Bessel do primeiro tipo.

A transformada de Hankel de ordem ν de uma função f(t) é dada por:

${\displaystyle K_{\nu }(u)\;=\;{\mathcal {K}}_{\nu }\{f(t)\}\;=\;2\pi \int _{0}^{\infty }f(t)\cdot t\cdot J_{\nu }(2\pi ut)\;dt\;\;\;\;\;(1a)}$

P/G    P/W =

onde J_ν é a função de Bessel de primeira espécie de ordem ν, com ν ≥ −1/2. A transformada inversa de Hankel é dada por:

${\displaystyle f(t)\;=\;{\mathcal {K}}_{\nu }^{-1}\{K_{\nu }(t)\}\;=\;2\pi \int _{0}^{\infty }K_{\nu }(u)\cdot u\cdot J_{\nu }(2\pi ut)\;du\;\;\;\;\;(1b)}$

P/G    P/W =

Verifica-se, assim, que a transformada é a sua própria inversa, o que se chama, em matemática, uma involução.

Em espaços multidimensionais, sob condições de simetria, a transformada de Hankel de dimensão n é dada por:

${\displaystyle K_{\nu }(u)\;=\;{\frac {2\pi }{u^{\nu }}}\;\int _{0}^{\infty }f(t)\cdot t^{\frac {n}{2}}\cdot J_{\nu }(2\pi ut)\;dt\;\;\;\;\;(2a)}$

P/G    P/W =

com

${\displaystyle \nu \;=\;{\frac {n}{2}}\;-\;1\;\;\;e\;\;\;n=1,2,3...\;\;\;\;\;(2b)}$

Em duas dimensões (n = 2), obtém-se a transformada de Hankel tradicional. Em uma dimensão (n = 1), obtém-se a Transformada de Fourier, após aplicarem-se as identidades

${\displaystyle J_{\frac {1}{2}}(x)\;=\;\left({\frac {2}{\pi x}}\right)^{\frac {1}{2}}\sin(x)\;\;\;e\;\;\;J_{-{\frac {1}{2}}}(x)\;=\;\left({\frac {2}{\pi x}}\right)^{\frac {1}{2}}\cos(x)\;\;\;\;\;(2c)}$^[1]

P/G    P/W =