FUNÇÕES E TRANSFORMADAS COM VARIÁVEIS DE GRACELI

TRANSFORMADAS COM VARIÁVEIS DE GRACELI.

TRANSFORMADA BINOMIAL E DISCRETA DO COSSENO , COM ELEMENTOS GRACELI DE SOMATÓRIO PROGRESSÕES E RAIZ.

VARIÁVEIS DE GRACELI.

P/G P/W =

$s_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}a_{k}$ P/G P/W =

$(Tf)(u)=\int _{t_{1}}^{t_{2}}f(t)\,K(t,u)\,dt.$ P/G P/W =

Em matemática, a transformada identidade é uma transformada integral cujo núcleo é a função delta de Dirac:

{\mathcal {I}}\{f(x)\}=\int _{-\infty }^{\infty }f(u)\cdot \delta (u\;-\;x)\;du

P/G

P/W =

A transformação deve seu nome ao fato de mapear uma função qualquer f(x) nela mesma:

{\mathcal {I}}\{f(x)\}=f(x)

[1]

P/G

P/W =

Definições

Se chamarmos fk e Sk ao k-ésimo coeficiente de f(k) e S(k), respectivamente, podemos definir a transformada discreta de seno de tipo 1 (DST1) por meio da expressão seguinte:

$S_{k}\;=\;{\sqrt {\frac {2}{n}}}\cdot \sum _{j\;=1}^{n-1}f_{j}\cdot \sin \left({\frac {jk\pi }{n}}\right)\;\;\;\;\;(1a)$

Vemos que a sequência S(k) terá apenas n-1 valores, porque os coeficientes extremos devem ser nulos: tanto k quanto j situam-se no intervalo [1,n-1], e não no intervalo [0,n-1], como é usual na definição de transformadas discretas. A transformada inversa é dada por

$f_{k}\;=\;{\sqrt {\frac {2}{n}}}\cdot \sum _{j\;=1}^{n-1}S_{j}\cdot \sin \left({\frac {jk\pi }{n}}\right)\;\;\;\;\;(2a)$

também com k e j no intervalo [1,n-1]. Note-se a simetria entre a transformação direta e a inversa, e a similaridade com as transformações contínuas correspondentes.

Alternativamente, pode-se definir a DST1 como a matriz que, multiplicada por f(k), resulta em S(k); em notação matricial, S = Ds · f. Se denotarmos os coeficientes da matriz Ds por sjk, podemos escrever

$s_{jk}\;=\;{\sqrt {\frac {2}{n}}}\cdot \sin \left({\frac {jk\pi }{n}}\right)\qquad |\;k,j\in [1,n-1]\qquad (3a)$

Transformada discreta de cosseno (ou DCT da sigla em inglês para Discrete Cosine Transform) é a extensão da Transformada de cosseno ou Transformada contínua de cosseno para um domínio discreto. É muito utilizada em processamento digital de imagens e compressão de dados.

Transformada unidimensional

A fórmula desta transformada para um vetor p de tamanho n é:

$G_{f}={\frac {1}{2}}C_{f}\sum _{t=0}^{n-1}p_{t}\cos {\left({\frac {(2t+1)f\pi }{2n}}\right)},$

A matriz dessa transformada é composta de vetores ortonormais, sendo por isso uma matriz de rotação. Esta transformada é muito utilizada na compressão de dados, pois transfere a maior parte da informação contida para os primeiros elementos do vetor, otimizando o armazenamento (para compressão sem perdas) e facilitando a quantização dos valores (para compressão com perdas).

A recuperação dos dados transformados pode ser feita com a operação inversa, chamada de IDCT (do inglês Inverse Discrete Cosine Transform), que é dada pela fórmula abaixo:

$p_{t}={\frac {1}{2}}\sum _{j=0}^{n-1}C_{j}G_{j}\cos {\left({\frac {(2t+1)j\pi }{2n}}\right)},{\mbox{ para }}t=0,1,...,n-1$

Em compressão e imagens e vídeos a maioria dos padrões usa a transformada discreta de cosseno com o tamanho do vetor p n = 8.

Transformada bidimensional

Sabendo que os pixels de uma imagem tem correlação com seus vizinhos nas duas dimensões da imagem, e não apenas em uma dimensão, a transformada discreta de cosseno para ser usada na compressão de imagens também deve ser uma transformada bidimensional. A fórmula dessa transformada para uma matriz (ou seja uma imagem) p de tamanho n x n é:

$G_{ij}={\frac {1}{\sqrt {2n}}}C_{i}C_{j}\sum _{x=0}^{n-1}\sum _{y=0}^{n-1}p_{xy}\cos {\left({\frac {(2y+1)j\pi }{2n}}\right)}\cos {\left({\frac {(2x+1)i\pi }{2n}}\right)},$

onde $C_{i,j}={\begin{cases}{\frac {1}{\sqrt {n}}},&{i,j}=0\\{\sqrt {2/n}},&{i,j}>0\end{cases}}$

P/G P/W =Essa transformada pode ser considerada como uma rotação (ou duas rotações consecutivas,

$p_{xy}={\frac {1}{4}}\sum _{i=0}^{n-1}\sum _{j=0}^{n-1}C_{i}C_{j}G_{ij}\cos {\left({\frac {(2x+1)i\pi }{2n}}\right)}\cos {\left({\frac {(2y+1)j\pi }{2n}}\right)}$

Analogamente à transformada unidimensional, a transformada bidimensional resulta em uma matriz onde os coeficientes mais significativos se acumulam no canto superior esquerdo (início da matriz) e os demais coeficientes são de pequeno valor podendo ser mais facilmente armazenados ou mesmo quantizados para proporcionar uma compressão com perdas.

uma em cada dimensão), ou ainda como uma base ortogonal num espaço vetorial de n dimensões. A recuperação dos dados transformados pode ser feita usando-se a transformação inversa, conhecida como IDCT bidimensional:

para $0\leq i,j\leq n-1$

onde:

$C_{f}={\begin{cases}{\frac {1}{\sqrt {n}}},&f=0\\{\sqrt {2/n}},&f>0\end{cases}}{\mbox{ para }}f=0,1,...,n-1$

A transformada de Hilbert de uma função f(x) é definida por:

${\mathcal {H}}\{f(x)\}\;=\;{\hat {u}}(x)\;=\;{\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(u)}{u-x}}\;du\;\;\;\;\;(1a)$

Definição

O núcleo da transformada de Hankel é uma função de Bessel do primeiro tipo.

A transformada de Hankel de ordem ν de uma função f(t) é dada por:

K_{\nu }(u)\;=\;{\mathcal {K}}_{\nu }\{f(t)\}\;=\;2\pi \int _{0}^{\infty }f(t)\cdot t\cdot J_{\nu }(2\pi ut)\;dt\;\;\;\;\;(1a)

P/G

P/W =

onde Jν é a função de Bessel de primeira espécie de ordem ν, com ν ≥ −1/2. A transformada inversa de Hankel é dada por:

f(t)\;=\;{\mathcal {K}}_{\nu }^{-1}\{K_{\nu }(t)\}\;=\;2\pi \int _{0}^{\infty }K_{\nu }(u)\cdot u\cdot J_{\nu }(2\pi ut)\;du\;\;\;\;\;(1b)

P/G

P/W =

Verifica-se, assim, que a transformada é a sua própria inversa, o que se chama, em matemática, uma involução.

Em espaços multidimensionais, sob condições de simetria, a transformada de Hankel de dimensão n é dada por:

K_{\nu }(u)\;=\;{\frac {2\pi }{u^{\nu }}}\;\int _{0}^{\infty }f(t)\cdot t^{\frac {n}{2}}\cdot J_{\nu }(2\pi ut)\;dt\;\;\;\;\;(2a)

P/G

P/W =

com

\nu \;=\;{\frac {n}{2}}\;-\;1\;\;\;e\;\;\;n=1,2,3...\;\;\;\;\;(2b)

Em duas dimensões (n = 2), obtém-se a transformada de Hankel tradicional. Em uma dimensão (n = 1), obtém-se a Transformada de Fourier, após aplicarem-se as identidades

J_{\frac {1}{2}}(x)\;=\;\left({\frac {2}{\pi x}}\right)^{\frac {1}{2}}\sin(x)\;\;\;e\;\;\;J_{-{\frac {1}{2}}}(x)\;=\;\left({\frac {2}{\pi x}}\right)^{\frac {1}{2}}\cos(x)\;\;\;\;\;(2c)

[1]

P/G

P/W =

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